دراين مقاله مي کوشيم تا نقش رياضيات را از رهگذر مفاهيم فيزيک جديد، در دنياي زيبا و چندنظمي نانو نشان دهيم.
اغلب اشياء در جهان -از کوچکترين تا بزرگترين- از مجموعه از المانها تشکيل شده است که هر يک داراي درجه‌اي از آزادي هستند. قوانين پايه‌اي فيزيک اين ويژگيها را توضيح مي‌دهند. اکنون فرض کنيد که مي‌خواهيد معادلة نيوتن يا شرودينگر را براي 10²³ اتم حل کنيد؟ و فرض کنيد که قويترين رايانه ها را نيز در اختيار داريد، آيا اين امر مقدور است؟ از ديدگاه اتمي پاسخ اين سؤال به نظر منفي مي‌رسد.
حل مسأله با در نظر گرفته 10²³ اتم زمان زيادي مي‌گيرد و نتايج براي تفسير کاملاً پيچيده مي‌شود (هيچ فضاي ديسک سختي قادر به ذخيره‌سازي موقعيت 10²³ اتم نمي‌باشد)
علاوه بر اين، براي هر ماده، هر ترکيب شيميايي و ساختار شبکه‌اي مجبور به بارها و بارها محاسبه هستيم. علاوه بر اين با زمينه‌هاي منحصر به فردي از رفتار مواد در فازهاي انتقالي جامد، مايع، گاز، پلاسما، فرومغناطيس و ضدفرومغناطيس، ابررسانائي، ابر سيالي و .... مواجهيم. خواص مکانيکي ماده در هر فاز، از فازي به فازي ديگر، متفاوت است. زيرا اتمها داراي درجه آزادي هستند و بعلاوه، پارامترهايي نظير دما، فشار، نيروي خارجي از فازي به فاز ديگر به شدت تغيير مي‌کند. اما سؤال اساسي اينجاست که چگونه رفتار آنها در گذر فاز مي‌توان ارتباط داد؟ اگر رفتار مواد را تحت شرايط آزمايشگاهي، در گسترة وسيعي از حالات بررسي کنيم، پارامترهاي متعددي را در خواهيم يافت که قادرند شکل مسأله را عوض کنند. اما از سوي ديگر توانائي محاسباتي ما محدود است، بنابراين تقريب مقدور است اما پيشگوئي در چنين مواردي محدود است.
اما از سوي ديگر فيزيکدانان همواره به سوي تئوريهاي جهان شمول توجه دارند. رغبت در جهت پيشگوئي رفتار جهان شمول ماده، فيزيکدانان را به سوي« تئوري پديده‌هاي بحراني» سوق داد. «مؤلفه‌هاي بحراني» در يک کلاس جهاني مدلسازي قرار دارند. اين مؤلفه‌ها نمايشگر مدلي جهان شمول از رفتار ماده هستند و رفتار ماده را به تقارن ماده ( در ديدگاه ساختاري) و ابعاد فضاي ماده مرتبط مي‌کند. اين مقادير بحراني، با دقت مناسب بوسيله تئوري قابل محاسبه‌اند.
سيستم‌هاي بحراني در« جهان فرکتال »قرار دارند.

تئوريهاي مبتني بر آناليز ابعادي، مقادير نسبي براي اين مؤلفه‌ها پيشگوئي مي‌کنند. براي آنکه پيچيدگي مسأله را درک کنيم، يک تصوير لحظه‌اي از «اسپين» را در يک ماده «فرومغناطيس» مجسم کنيد. اکنون به شکل «2» دقت کنيد. شکل «2» نمايشگر نتايج يک شبيه سازي براي يک Ising فرو مغناطيس است. بطوريکه، اسپين‌ها مي‌توانند دو حالت «بالا» (نمايش داده شده با رنگ مشکي) يا «پايين» باشد.
در حالت «فرومغناطيس»، (دما کمتر از دماي بحراني)، اغلب «اسپين‌ها» در حالت «بالا» قرار مي‌گيرند (شکل سمت چپ)، در حاليکه در حالت« پارامغناطيس» (دما بالاتر از دماي بحراني)، اسپين‌ها جهت‌گيري تصادفي مي‌کنند (شکل سمت راست، رنگ خاکستري).
در اينجا تنها خوشه‌هاي کوچکي از اسپين‌هاي هم تراز، از اندازة سيستم، کوچکترند در حاليکه، در موقعيت بحراني (شکل وسط)، که دما به حد بحراني رسيده است، خوشه‌هاي نامحدودي از اسپين‌هاي حالت «بالا» پديدار شده‌اند (سيستم در مرز «نظم» قر ار گرفته است).
توجه کنيد که خوشة نظم يافته شکل «فرکتال»، با نوسان شکلي در همة مقياسها،به خودگرفته است. اين هندسة‌ فرکتالي از خوشه‌هاي تشکيل يافته، به طرز عجيبي انعکاس مي‌يابند: مقاديري غيرمنطقي از مؤلفه‌هاي بحراني! و البته تئوريهاي ساده ساز، مشخصات اين فرکتالها را نمي‌توانند تعيين کننند. از ديدگاه فيزيکي، نوسانات شکلي در همة مقياسها، متضمن ناپايداري سيستم در موقعيت بحراني است.

• اما آيا مي‌توانيم اميدوار به درک اين رفتار پيچيده باشيم؟
• مکانيک کلاسيک يا کوانتوم؟
• زماني که به دنياي کوانتوم وارد مي‌شويم مي‌گوييم:

• مؤلفه‌هاي بحراني بصورت آزمايشگاهي چگونه تعيين مي‌شوند؟
• چه مؤلفه‌هايي جهاني هستند و کداميک نيستند؟ مرجع جهان شمول بودن مؤلفه‌هاي بحراني کدام است؟
• انتقال فاز اصلاح شده در سيستم‌هاي محدود (سازه‌هاي نانوئي) چگونه است؟
• رفتار بحراني چگونه محاسبه مي‌شود؟ آيا مي‌توانيم «هندسة فرکتال» مؤلفه‌هاي بحراني را درک کنيم؟
• ارتباط ميان مؤلفه‌هاي بحراني، تقارن داخلي سيستم و ابعاد مسأله، چيست؟
• ارتباط ميان سؤالات فوق، براي هر مسأله، چهارچوبي در جهت مطالعة رفتار سازه‌هاي نانوئي بوجود مي‌آورد.